الضرب الداخلي أو ما يسمى بالضرب الاتجاهي هو عبارة عن ضرب متجهين، أو الضرب التقاطعي أو الجداء المتجهي حيث انه عملية ثنائية تتم بين متجهين، في فضاء ثلاثي الأبعاد. والمتجه مجموعة من الأرقام في شكل رأسي وأفقي، واي متجه يمكن أن يكون أي عدد من الاتجاهات، والمتجه في الأغلب يكون عبارة عن ثلاثة اتجاهات. في هذا المقال نستعرض بحثا عن الضرب الداخلي في الرياضيات.
مفهوم الضرب الداخلي في الرياضيات
- الضرب الداخلي هو ضرب المتجهات في بعض، حيث أن هذه العملية تقوم على استخلاص عدة أمور وتستخدم في الشغل والفيض المغناطيسي وبيان القدرة.
- الضرب الداخلي يتم بين الاتجاهات، ويتم في الأغلب لضرب المتجهين، ويوجد له بعض الخصائص التي تميزه عن الضرب العادي.
- تكون نتيجة ضرب المتجهين عبارة عن يتجه متعامد على المستوى الذي ينتمي له المتجهان، علي عكس خلاف الضرب القياسي الذي ينتج لنا كمية قياسية.
- الضرب لمتجهين متخلف عن ضرب رقمين لان المتجهين ليسوا أرقام عادية بل لهم خصائص عامة تميزهم.
خصائص الضرب الداخلي في الرياضيات
- يوجد الكثير من الخواص الجبرية التي تخص عمليات الضرب العادية تنطبق على عمليات الضرب الداخلي، وهذه الخواص توجد في كل عمليات الضرب حيث هي خاصية الإبدال، وخاصية التوزيع، وخاصية الضرب في رقم حقيقي.
- كما يوجد بعض الخواص التي تنطبق على الضرب الداخلي فقط مثل خاصية الضرب الداخلي عندما نضرب متجه في اتجاه آخر صفري، ومن الخصائص التي ينفرد بها ضرب المتجهات أن هناك علاقة بين طول المتجه وبين الضرب الداخلي.
- كتابة المتجه تكون على صورة توافق خطية لمتجهين الوحدة القياسيين، ويمكن كتابة المتجه على صورة توافق خط متجه الوحدة القياسي. كما يمكن كتابته على صورة مجموعة حيث متجه الوحدة القياسي مضروبًا في المركبة في اتجاه كل منهم. ويوجد الكثير من الفرضيات التي قدمها العلماء عن الكميات في صورة التوافق الخطي.
الضرب الداخلي والضرب الاتجاهي للمتجهات في الفضاء
- المتجه الذي يكون طوله عبارة عن وحدة واحدة يطلق عليه اسم متّجه الوحدة. أما المتجه الذي تكون قيمته صفر هو المتجه التي تتكون أبعاده وقيمه كلها من (0,0,0).
- المتجهات التي تكون لها نفس القيمة لكنها تكون في الاتجاه المعاكس للاتجاهات الأخرى، تعرف باسم المتجهات السالبة أما المتجهات التي تكون في نفس الاتجاه معاً، ولكن قد تختلف أو تتساوى فيما بينها في المقدار الذي تحمله تعرف باسم المتجهات المتوازية.
- المتجهات التي تقع في نفس المستوى، أو المتوازية في المستوى نفسه، يطلق عليها اسم المتجهات المشتركة في المستوى.
- كل متجهان إذا كان لهم نفس المقدار يكونان متساويين.
الزوايا والتعامد في فضاء الضرب الداخلي
- الزاوية بين متجهين في فضاء الضرب الداخلي يستخدم في الكثير من الأحيان للحصول على بعض العلاقات الأساسية بين متجهات فضاء الضرب الداخلي مثل العلاقات بين الفضاء الصفري وفضاء الأعمدة لأي مصفوفة.
- على سبيل المثال إذا كانت U فضاء جزئي من فضاء الضرب الداخلي V، وإذا كان المتجه v في V يقال له عمود على U إذا كان عمودي على أي متجه في U. فيكون مجموع المتجهات في V العمودي على U يقال إنها متممة عمودية الفضاء الجزئي في U.
فضاءات الضرب الداخلي
- الضرب الداخلي في المستوى الإحداثي هو عبارة عن مجموع حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الأفقي، وهو عبارة عن حاصل ضرب المركبات في الاتجاه الرأسي.
- يمكن أن نقول إن الضرب الداخلي لمتجهين في المستوى الإحداثي يمثل أحد مسقط واحد منهم على الآخر في نفس معيار المتجه الآخر.
- الضرب الداخلي على V هو دالة ترفق العدد الحقيقي <u،v> مع زوج من المتجهات v، u في V بطريقة.
- فضاء المتجهات الحقيقي مع الضرب الداخلي يسمى فضاء الضرب الداخلي الحقيقي.
- إذا كانت v = (v1، v2، …. ، vn) و u = u1، u2، … ، un) متجهات في Rn
المراجع:
https://www.thaqfya.com/
https://almerja.com/