بحث عن الاحتمال المشروط

نظرية الاحتمالات تهتم بالتجارب العشوائية التي يمكن توقّع نتائجها قبل حدوثها، ولكن لا يمكن تأكيد نتيجة تجربة ما مُسبقاً. ففي تجربة إلقاء قطعة نقد مرّة واحدة على سبيل المثال، فإنّه يمكن توقع الناتج بأنه سيكون إمّا صورة أو كتابة (ص أو ك)، لكن بالمقابل لا يمكن التأكّد أيّ الخيارين سيظهر في النتيجة. أما الفضاء العينيّ فهو جميع النتائج الممكنة والمقترحة للتجربة العشوائية، ويرمز للفضاء العيني ب (أوميجا). في هذا المقال نستعرض بحثا عن الاحتمال المشروط في الرياضيات وقوانينه بالأمثلة.

مفهوم اساسي الاحتمال المشروط

احتمال شرطي في دراسة الاحتمالات. نفرض أن E حدث اختياري ما ضمن فضاء العينة S عندئذ نعرف احتمال وقوع الحدث A بفرض أن E قد وقع أو بعبارة أخرى الاحتمال الشرطي للحدث Aعند وقوع E {\displaystyle P(A\mid E)={\frac {P(A\cap E)}{P(E)}}.}ترسل الإشارات اللاسلكية على شكل "نقاط" و"خطوط" حيث عدد النقاط يساوي 3/4 عدد الخطوط. بسبب الأخطاء فإن النقطة تصبح خطا باحتمال 2/3 والخط يصبح نقطة باحتمال 1/4 فإذا استلمت إشارة "نقطة" فما احتمال أنها أرسلت "نقطة".

قانون الاحتمال المشروط

وقوع حدثان أحدهما يؤثر في وقوع الآخر مثل سحب ورقة من أوراق اللعب دون إرجاع مما يؤدي لتأثير سحب ورقة جديدة لنقص الفرصة بنقص عدد الأوراق (من 52 إلى 51 ) فالحدثان A, B نكتب حدث وقوع A بشرط وقوع B بالصورة A / B ويكون كما أشار علماء الرياضيات كما يلي:

P(A ∩ B) = P(B) × P(A / B)

لاحظ أن العلامة / ليست علامة القسمة بل علامة شرط وقوع ما يليها من أحداث P(A / B) s وهو احتمال وقوع الحدث A بشرط وقوع الحدث B ، قد ترد عبارة أخرى تفيد الشرط كالقول وفي حالة الحدثان مستقلان أي لا يؤثر وقوع أحدهما على الآخر ( when A and B are independent events ) يصبح القانون:

P(A ∩ B) = P(B) × P(A)

امثلة على الاحتمال المشروط

في تجربة إلقاء قطعة نقود وحجر النرد ولمرة واحدة أكتب فضاء النواتج S . الحل: قطعة النقود لها عنصران H, T صورة وكتابة ، وحجر النرد له 6 عناصر هي العداد من 1 إلى 6 وعليه يكون عدد عناصر فضاء التجربة = 3 × 2 = 12 هي:

S = {(H,1), (H, 2), (H, 3), (H, 4), (H, 5), (H, 6), T,1), (T, 2), (T, 3), (T, 4), (T, 5), (T, 6) } ويمكن كتابتها اختصاراً بالصورة S = {(H,1), (H, 2), ... , (T, 6) }

سحبت كرة واحدة فقط من كيس يحوي 10 كرات متماثلة تماماً ألوانها 3 حمراء ، 2 سوداء، 5 صفراء فما احتمال أن تكون الكرة المسحوبة حمراء. الحل: عدد الكرات التي تحقق المطلوب (حمراء اللون) هو 3 وعدد الكرات التي يمكن أن تسحب يساوي 10 وبافتراض أن A هو حدث الكرة حمراء فيكون المطلوب: P(A) = M ÷ N = 3 ÷ 10 = 0.3
إذا كان احتمال وفاة شخص هو 0.05 فما احتمال أن يعيش؟ الحل: واضح أن الاحتمال المطلوب هو الحدث المتمم للاحتمال المعطى أي أن مجموعهم يساوي الواحد الصحيح وبفرض أن: A : حدث أن يعيش الرجل P( A ) = 1– P(`A ) = 1 – 0.05 = 0.95
بين إن كانت الأحداث الآتية شاملة (دالة احتمال) حيث احتمالاتها 0.1، 0.3، 0.6 مع العلم بأنها متنافية فيما بينها. الحل: حتى تكون شاملة يجب أن يكون مجموعها يساوي الواحد الصحيح وبجمعها نجد أن: 0.1 + 0.3 + 0.6 = 1 فالأحداث شاملة.

الاحتمال المشروط والحوادث المستقلة

الفكرة الأساسية لمفهوم الاحتمال الشرطي بأن المعلومات البديهية لحدوث الحوادث تعمل في احتمالات تأثير عامة لحوادث أخرى. (على سبيل المثال اذا لدينا شخص ما مدخن سنحدد عندئذ الاحتمال العالي لحدوث سرطان الرئة). في العموم نتوقع كالتالي:
نعرف الاستقلال العشوائي للحادثين و بواسطة الشرط