الدالة هي علاقة رياضية تربط كل عنصر من مجموعة تُدعى المنطلق (المجالX ) عنصرا واحدا وواحدا فقط على الأكثر من مجموعة تُدعى المستقر (المجال المقابلY) باستعمال الصياغة الرياضية الرسمية.
نقاط خاصة بتعريف الدالة:
- لكل تابع مجموعة منطلق أو نطاق غالبا ما تدعىX {\displaystyle X\!}
- لكل تابع مجموعة مستقر (أو نطاق مرافق) غالبا ما تدعىY {\displaystyle Y\!}
- لا يمكن لعنصر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!} أن يرتبط إلا بعنصر وحيد من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!}.
- يمكن لعنصر من مجموعة المستقر {\displaystyle Y\!} أن يرتبط بعنصر واحد أو أكثر من مجموعة المنطلق {\displaystyle X\!}.
- اذا كان المنطلق (النطاق) هو مجموعة القيم التي يمكن أن يأخذها متغير مستقل {\displaystyle x}فإن المستقر هو مجموعة القيم الممكنة لقيم الدالة. {\displaystyle f(x)\!}
- المدى: هو مجموعة القيم الفعلية للدالة f
- يجب عدم الخلط بين المدى والمستقر حيث يمكن للدالة ألا تغطي جميع قيم المستقر فيكون المدى مجرد مجموعة جزئية من المستقر.
أنواع الدوال
تختلف الدوال الرياضية في أنواعها من حيث المتغيرات تارة ومن حيث الشكل الرياضي تارة أخرى كما يلي:
الدوال من حيث عدد المتغيرات:
- الدوال ذات المتغير المستقل الواحد: (Y= f(x، مثل العلاقة بين الدخل والإنفاق.
- الدوال ذات متغيرين مستقلين: (Z= f(x,y ، مثل مساحة المستطيل.
- الدوال ذات ثلاثة متغيرات مستقلة(u=f(x,y,z، مثل حجم متوازي المستطيلات .
الدوال من حيث الشكل الرياضي:
- الدالة الثابتة: يقال للدالة f بأنها دالة ثابتة إذا كان مداها مكون من عدد ثابت c أي أن قاعدة تعريفها هي: f(x)=cحيث c ∈R .
- دالة التطابق: يقال للداله f : R→ F بأنها دالة تطابق إذا كانت صورة كل عنصر في المجال، العنصر نفسه في المدى: f(x)=x , ∀ x∈ R
- الدوال كثيرة الحدود: وهي عبارة عن أعداد حقيقية ثابتة، ونطاق مجال أو مجموعة تعريف الدالة هي مجموعة الأعداد الحقيقية R، وتكتب على هذه الصورة: f(x)=an xn+ an-1 xn-1 + an-2 xn-2+ a0 x0 +a0
- دالة القيمة المطلقة: مجال دالة القيمة المطلقة R أما مدى الدالة يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية غير السالبة [0∞[
- دالة المقياس أو دالة الصحيح: يرمز لها بالرمز [X] , وقاعدتها [f(x)=[x حيث [X] هو أكبر عدد صحيح يكون أقل من أو يساوي Xأي أن : X] =n ⇔ n ≤ x < n-1 , n-1] ويسمى n بالجزء الصحيح في X أي أن: X]= [X]+ ɑ , 0 ≤ɑ<1]
- الدالة الأسية: هذه الدالة هي الأكثر استخداما في التطبيقات ولتسهيل الكثير من الحسابات، فهي تستخدم في الفيزياء والبيولوجيا والكيمياء والعلوم الهندسية، والحاسبات. وقاعدة الدالة تعرف كالأتي: f(x)=ax ,a > 0 , a ≠1 ومجال الدالة الأسية مجالها مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة، أما مداها يساوي مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة ]0,∞[
- الدالة اللوغاريتمية: وتعرف هذه الدالة بالقاعدة التالية: y = Loga x , a > 0 , a ≠ وعندما تصبح a =e تكتب الدالة على الصورة الأتية : y = Loga x or y = Ln x. مجال الدالة اللوغارتيمية هو مجموعة الأعداد الحقيقية الموجبة. ومدى الدالة مجموعة الأعداد الحقيقية. ونستنتج مما سبق أن الدالة اللوغاريتمية هي الدالة العكسية للدالة الأسية.
المراجع:
https://rmhah123.wordpress.com
https://ar.wikipedia.org